Dzimis 1900. gada 16. decembrī, Nīcā Miris 1942. gada 23. janvārī, Suzdaļas cietumā

Mācījies Saldus pilsētas skolā; 1927. gadā beidzis vakara vidusskolu un iestājies Latvijas Universitātes Tautsaimniecības un tiesību zinātņu fakultātes Tautsaimniecības nodaļā. Strādājot sūtniecībā Londonā, vienlaicīgi studējis tautsaimniecību Londonas ekonomikas un politikas zinātņu skolā. Beidzis Latvijas Valsts universitāti 1941. gadā.

Dienests Latvijas Ārlietu ministrijā

No 1925. gada decembra – sekretāra palīgs Ārlietu ministrijas Baltijas valstu nodaļā un Preses nodaļā; no 1927. gada decembra – III šķiras sekretārs Administratīvajā un protokola nodaļā; no 1929. gada līdz 1931. gadam – ārštata sekretārs Ģenerālkonsulātā Londonā, turpmāk – III šķiras sekretārs sūtniecībā Londonā; no 1938. gada janvāra – II šķiras, no novembra – I šķiras sekretārs Ārlietu ministrijas Administratīvajā un protokola nodaļā; no 1939. gada aprīļa – Saimniecības un finanšu nodaļas vadītājs, no novembra – Administratīvā departamenta direktors.

Pēc Ministru kabineta 1940. gada 17. maija sēdē pieņemtā ārkārtējo pilnvaru teksta saņemšanas Ārlietu ministrijā, Administratīvā departamenta direktors T. Anševics pašrocīgi apliecināja slepenā lēmuma noraksta pareizību un sagatavoja tā tālāku nosūtīšanu pilnvaru nesējam – sūtnim Londonā Kārlim Zariņam. Pilnvaras 17. jūnijā stājās spēkā, nodrošinot Latvijas diplomātu darbības turpināšanu Rietumvalstīs okupācijas gados.

1940. gada septembrī padomju okupācijas laikā atbrīvots no darba Ārlietu ministrijā pēc paša vēlēšanās.

Apbalvots ar Igaunijas ordeni un Lielbritānijas medaļām.

Latvijas Nacionālā arhīva Latvijas Valsts vēstures arhīvs, 2570. f., 14. apr., 60. l.

Represijas 

Apcietināts 1941. gada 11. jūnijā.

Apcietināšanas lēmuma pamatojums – Ārlietu ministrijas Administratīvā departamenta direktors.

20. jūnijā ceļā uz Juhnovas nometni Kalugas apgabalā T. Anševics mēģināja bēgt, ielecot upē. Konvoja karavīri šāva un viņu ievainoja.  Par bēgšanas mēģinājumu ieslodzīts Mediņas cietumā Nr. 5, Kalugas apgabalā, vēlāk pārvests uz cietumu Suzdaļā, Ivanovas apgabalā.

T. Anševics miris 1942. gada 23. janvārī Suzdaļas cietuma slimnīcā.

Latvijas Nacionālā arhīva Latvijas Valsts arhīvs, 1986. f., 2. apr., P-9794. l.